Ver la entrada TETRAEDRÓN del 8 de Febrero de 2017.
lunes, 30 de diciembre de 2013
miércoles, 25 de diciembre de 2013
Geometrías y Aritméticas
El bueno de Euclides (siglo III
antes de Cristo) debió de pensarselo mucho, pero al fin decidió que era
evidente, aunque indemostrable, que por un punto externo a una recta siempre
pasa una y solo una paralela a ella, una recta que por más que ambas se prolonguen,
nunca se cortan. Esto es lo que se llama "axioma". A partir de este
axioma, y de unos pocos más, se
construye toda la geometría que utilizamos en la tierra y que, en su
honor, se llama geometría "euclidea".
Pero unos siglos después a alguien se le ocurrió que, tomando como axioma el que por ese punto
exterior no pasaba ninguna paralela (todas las rectas se cortan antes o
después) se podía construir otra geometría. Y a alguien se le ocurrió también
que por un punto exterior podían pasar más de una paralela, construyéndose otra
geometría no euclidea.
Resulta que, al ser el universo
finito, la geometría que debe usarse a esa escala es la primera de estas dos.
Y, en algunas construcciones tetradimensionales del espacio-tiempo, la que debe
usarse es la segunda.
La idea que quiero dejar claro es
que las teorías matemáticas son abstracciones que, aunque para un matemático
tienen un valor de por sí, resultan aún más valiosas cuando pueden aplicarse a
algo real. Pero eso no quiere decir que puedan aplicarse a "todo".
Pero ¿que pasa con la aritmética?
¿cuánto vale 1+1?. Veamos algunos ejemplos:
- · Si doy una media vuelta y luego otra media vuelta, me quedo exactamente como estaba (1+1=0).
- · Un poco de agua más un poco de agua sigue siendo un poco de agua (1+1=1).
- · Un lanzamisiles los dispara a una velocidad de un millar de kilómetros por hora. ¿Qué velocidad alcanzará el misil si se utiliza el lanzamisiles desde un avión que vuela a un millar de kilómetros por hora?: a dos millares de kilómetros por hora (1+1=2).
- · ¿Y si un lanzapartículas las lanza a un centenar de miles de kilómetros por segundo desde una astronave que viaja a un centenar de miles de kilómetros por segundo? Pues calculo que a algo menos de un centenar y medio de miles de kilómetros por segundo (1+1=1,4...).
Con esto quiero decir que la
aritmética que usamos para nuestras pequeñas cuentas es una abstracción, como
la geometría euclidea, que nuestra experiencia nos dice que resulta útil cuando
operamos con entes que llamamos "enumerables", pero no necesariamente
siempre y para todo.
Los bancos, utilizando aritmética elemental, deducen que un millón de euros más un millón de euros son dos millones de euros. Pero ¿han contado realmente un millón de monedas de un euros por un lado, un millón por otro, y han comprobado que al juntarlos suman realmente dos millones de euros?
Un millón es un número relativamente pequeño, por lo que sospecho que si se hiciera la comprobación se llegaría a la conclusión de que la suma era correcta, pero ¿cuánto suman un quintillón de estrellas más un quintillón de estrellas? Nuestra aritmética nos predice que sumarán dos quintillones, pero ¿no ocurrirá cómo con la geometría euclidea, que no es válida en la inmensidad del universo?
Pero vayamos a otro tema relacionado con la aritmética: "Dios no es omnipotente ya que no puede hacer que 1+1 no sea 2".
Creo que hay que distinguir entre la suma abstracta, puramente aritmética, "1+1=2", y la real "una pera más una pera son dos peras".
Para el caso abstracto se me ocurre un ejemplo: Supongamos que juego al parchís y que tiro el dado y me sale un tres. Muevo mi ficha cuatro posiciones. Y mi oponente dice "¡trampa!, tienes que moverla tres posiciones". Yo replico que siempre he jugado moviendo cuatro posiciones cuando sale un tres , y moviendo doce cuando sale un seis. Él dirá entonces que a lo que yo juego no es al parchís, sino a una cosa parecida con unas reglas distintas. El punto es que por supuesto puedo mover la ficha cuatro posiciones, pero no si sigo las reglas.
No solo Dios, sino que incluso un pobre mortal como yo puede jugar, definiendo nuevas reglas para la suma, a que 1+1 sea 3, pero no estaría jugando con las reglas y axiomas de la aritmética tradicional. Además, al contrario de lo que ocurre con las geometrías no euclídeas, es poco probable que le encontráramos alguna utilidad.
En el caso real ¿Puede Dios hacer que una pera más una pera sean tres peras? La respuesta es también positiva: ¿No cuentan los evangelios que en cierta ocasión hizo que con cinco panes y dos peces comiera una multitud y sobraran varias cestas de comida?
Un millón es un número relativamente pequeño, por lo que sospecho que si se hiciera la comprobación se llegaría a la conclusión de que la suma era correcta, pero ¿cuánto suman un quintillón de estrellas más un quintillón de estrellas? Nuestra aritmética nos predice que sumarán dos quintillones, pero ¿no ocurrirá cómo con la geometría euclidea, que no es válida en la inmensidad del universo?
Pero vayamos a otro tema relacionado con la aritmética: "Dios no es omnipotente ya que no puede hacer que 1+1 no sea 2".
Creo que hay que distinguir entre la suma abstracta, puramente aritmética, "1+1=2", y la real "una pera más una pera son dos peras".
Para el caso abstracto se me ocurre un ejemplo: Supongamos que juego al parchís y que tiro el dado y me sale un tres. Muevo mi ficha cuatro posiciones. Y mi oponente dice "¡trampa!, tienes que moverla tres posiciones". Yo replico que siempre he jugado moviendo cuatro posiciones cuando sale un tres , y moviendo doce cuando sale un seis. Él dirá entonces que a lo que yo juego no es al parchís, sino a una cosa parecida con unas reglas distintas. El punto es que por supuesto puedo mover la ficha cuatro posiciones, pero no si sigo las reglas.
No solo Dios, sino que incluso un pobre mortal como yo puede jugar, definiendo nuevas reglas para la suma, a que 1+1 sea 3, pero no estaría jugando con las reglas y axiomas de la aritmética tradicional. Además, al contrario de lo que ocurre con las geometrías no euclídeas, es poco probable que le encontráramos alguna utilidad.
En el caso real ¿Puede Dios hacer que una pera más una pera sean tres peras? La respuesta es también positiva: ¿No cuentan los evangelios que en cierta ocasión hizo que con cinco panes y dos peces comiera una multitud y sobraran varias cestas de comida?
viernes, 20 de diciembre de 2013
domingo, 15 de diciembre de 2013
martes, 10 de diciembre de 2013
El experimento del Doctor Moscati
Todos los ojos, incluso los de
Schrödinger (el gato mascota del laboratorio), estaban fijos en la blackberry
que il Dottore Moscati había
depositado en la plataforma de la izquierda. A una señal suya, l'ingeniere Bandinelli, sentado ante el
panel de control, pulsó una tecla, y el
cilindro de cristal de titanio descendió del techo hasta apoyarse en la
plataforma, rodeando la blackberry.
En medio de un tenso silencio, el cilindro
empezó a teñirse de verde fosforescente al tiempo que las luces del laboratorio
- y de todo el edificio - disminuían de
intensidad.
Después de una eternidad de
veinte segundos, la blackberry desapareció, y un ligero "Aaah" escapó
de las gargantas de los presentes (salvo de la de Schrödinger), que dirigieron
inmediatamente sus miradas hacia la plataforma y el cilindro de la derecha.
Veinte segundos más de silencio
expectante y el cilindro de la derecha adquirió por un instante el verde que
antes iluminaba al de la izquierda. Luego se fue apagando, mientras las luces
del laboratorio - y de todo el edificio - volvían a lucir con normalidad.
Y de repente, en la plataforma de
la derecha apareció una blackberry.
Los doctores, sus ayudantes y los
alumnos que presenciaban el experimento estallaron en gritos, en parte de
alegría, y en parte de sorpresa, porque la blackberry era blanca, y no negra
como la que el Doctor Moscati había depositado en la otra plataforma.
El Ingeniero Bandinelli hizo que los
cilindros subieran hasta el techo, y el Doctor Moscati recogió y examinó
la blackberry.
- Sigue estando cargada, tiene
mis contactos, la fecha y la hora son correctos.... - dijo después de
manipularla un rato - Ingeniere
¿puede hacerme una llamada?
El Ingeniero Bandinelli sacó su
teléfono móvil y llamó al Doctor Moscati. La blakcberry entonó las primeras
notas de "Palomitas de maíz".
- Es sin duda mi blackberry o, en
todo caso y salvo el color, una reconstrucción exacta del original. Debo
admitir que, aunque no estaba de acuerdo con il dottore von Heiden en que la reproducción exacta era imposible,
porque violaría el Principio de Incertidumbre, el cambio de color parece
confirmar su teoría. En todo caso, el teletransporte de material inerte ha sido
un éxito. El próximo experimento lo realizaremos con material vivo.
- ¿La cobaya? - preguntó el Ingeniero
Bandinelli.
- No: Schrödinger... Al ser negro
con manchas blancas, nos permitirá averiguar si el teletransporte solo cambia
el negro en blanco o hace también el cambio inverso.
El Doctor Moscati cogió del suelo
a Schrödinger y lo colocó en la plataforma de la izquierda, acariciándole el
lomo para que se sintiera tranquilo.
El Ingeniero Bandinelli hizo que los
cilindros de cristal de titanio descendieran. Las luces de la sala - y las de
todo el edificio - volvieron casi a extinguirse, mientras el cilindro se
iluminaba en verde.
Treinta segundos de silencio, y
Schrödinger desapareció.
Treinta segundos más, y el gato
volvió a aparecer en el cilindro de la derecha.
Y seguía siendo un gato negro
con manchas blancas.
El Ingeniero Bandinelli hizo
subir los cilindros, y el Doctor Moscati volvió a coger a Schrödinger y a
acariciarle el lomo.
Después de un largo silencio lo
depositó de nuevo en el suelo.
- Il Dottore von Heiden parece que tenía razón: aunque Schrödinger
sigue siendo negro con manchas blancas, todos los que lo conocíamos bien podemos asegurar que ha
sufrido una simetría: las manchas de la izquierda están a la derecha, y las de
la derecha, a la izquierda. Es más, después
de haberle palpado superficialmente estoy seguro de que sus órganos internos
también están ahora colocados simétricamente a como estaban antes de
teletransportarlo. No obstante, vive y sigue siendo Schrödinger.
El Doctor Moscati, con una cara
que reflejaba su intensa satisfacción, se agachó ligeramente y llamó al gato,
que inmediatamente acudió a él. Luego, con Schrödinger en brazos, se subió a la
plataforma de la izquierda.
- Pero, Dottore... - protestó el Ingeniero Bandinelli.
- Comprenderán, amigos, - dijo el
Doctor Moscati - que, después del éxito
de mis investigaciones, no voy a permitir que nadie me robe la gloria de ser el
primer hombre teletransportado...
- Pero, Dottore ¿Y los posibles efectos del Principio de Incertidumbre?
- ...Aunque ello suponga que
pueda aparecer con el corazón a la derecha o con la piel de color azulado.
Tras unos momentos de duda, el
Ingeniero Bandinelli pulsó la tecla que ponía en marcha el proceso. Los
cilindros de cristal de titanio bajaron. El de la izquierda adquirió la misma luminosidad
verdosa de las veces anteriores. Las luces del laboratorio - y de todo el
edificio - bajaron hasta apagarse por completo. Siguieron varios minutos de
tenso silencio y, finalmente, la luminosidad del cilindro se apagó, quedando el
laboratorio completamente a oscuras.
Tras otros expectantes minutos, una
fuerte luz verdosa iluminó el cilindro de la derecha para apagarse lentamente
mientras volvían a lucir las luces del laboratorio - y de todo el edificio -.
Y allí estaba el Doctor Moscati,
con Schrödinger en brazos.
Todos los presentes estallaron en
vítores y aplausos, mientras el Doctor Moscati repetía una y otra vez:
- Miaaaaaauuuuuuuuuuu...
Miaaaaauuuuuuu...
jueves, 5 de diciembre de 2013
La creación según los aztecas
El dios Tonacatecuhtli y su esposa Tonacacíhuatl tuvieron cuatro
hijos: Tezcatlipoca rojo, que nació todo colorado; Tezcatlipoca negro, que
nació negro, sabía todos los pensamientos y conocía todos los corazones; Quetzalcóatl,
también llamado “Noche y Viento”; y Huitzilopochtli, llamado “Culebra con dos Cabezas” y “Señor del
Hueso”, porque nació sin carne, solo con huesos, y estuvo así seiscientos años,
en los que no hicieron cosa alguna los dioses.
Pasados seiscientos años, se reunieron los cuatro hermanos y
encargaron a los dos pequeños que hicieran el fuego. Luego hicieron medio sol,
que por no estar entero relumbraba poco. Luego hicieron un hombre y una mujer,
Oxomoco y Cipactónal. A él le mandaron
labrar la tierra, y a ella que hilase y tejiese. A ella le dieron también
ciertos granos de maíz para que con ellos curase y usase en adivinanzas y
hechicerías, como así lo acostumbran a hacer hoy en día.
Hicieron los días y los dividieron en meses de veinte días. Hicieron
al Señor y la Señora del Inframundo. Hicieron los cielos, empezando por el
trece. Hicieron las aguas y criaron en ellas un pez grande, a modo de caimán,
del cual hicieron la tierra.
Otros dicen que bajaron del cielo a una diosa, que tenía las articulaciones
llenas de ojos y bocas, con las que mordía como una bestia salvaje. Ella
caminaba sobre las aguas, pero Quetzalcóatl y Tezcatlipoca se convirtieron en
grandes serpientes y, agarrándola uno de la mano derecha y del pie
izquierdo y el otro de la mano izquierda
y el pie derecho tiraron tanto de ella que se rompió, haciendo con parte de
ella la tierra.
Los otros dioses se enfadaron, y descendieron del cielo para
consolarla, ordenando que de ella salieran todos los frutos necesarios para la
vida de los hombres. Hicieron de sus cabellos árboles, flores y hierbas, y de
su piel las hierbas muy pequeñas y pequeñas flores. De los ojos hicieron pozos,
fuentes y pequeñas cavernas. De las bocas, ríos y grandes cavernas: De los
hombros, montañas: y de los agujeros de la nariz, valles. (Esto recuerda la creación china en el mito de Pangú)
Esta diosa lloraba a veces por la noche, porque quería comer corazones
humanos, y no se callaba hasta que se los daban, y no daba frutos si no la
rociaban primero con sangre humana. (excelente excusa para los sacrificios humanos, a los que eran tan aficionados los aztecas y otros pueblos americanos)
Los cuatro dioses vieron entonces que el medio
sol que habían creado alumbraba poco, por lo que crearon el otro medio,
haciéndose sol el propio Tezcatlipoca.
El sol que fue Tezcatlipoca no fue el primero
de los soles que crearon los dioses. Fue el sexto.
Con el primer sol, “sol del agua”, todo se lo
llevó el agua; todo desapareció, y las gentes se volvieron peces.
Cuando
el segundo sol, “sol del tigre”, se hundió el cielo, vivieron gigantes, y el
que se caía, caía para siempre.
Cuando el tercer sol, “sol de lluvia”, llovió fuego y murieron
todos los moradores. También llovieron las piedrezuelas que aún vemos.
El
viento se lo llevó todo cuando el cuarto sol, “sol del viento”, y los hombres
se volvieron monos y fueron esparcidos por los bosques.
El quinto sol, “sol del movimiento”, se movió
caminando. En este habrá (¿futuro?) terremotos y hambre general, con que hemos
de perecer.
Cuando Tezcatlipoca se hizo sol se criaron gigantes, con tantas
fuerzas que arrancaban los árboles con las manos. No comían más que bellotas de
encina.
Queztalcoatl le dio un bastonazo a Tezcatlipoca, que cayó al agua, se
convirtió en tigre, y se comió a los gigantes. Quedó Quetzalcoatl como
sol. Con este sol los hombres se
alimentaban solo de piñones.
Pero Tezcatlipoca derribó a Quetzalcoatl de una coz, y paso a ser
Tláloc el nuevo sol .
A Tláloc le sucedió como sol su mujer, Chalchiutlicue. Llovió tanto
que se cayeron los cielos y las aguas se llevaron a todos los hombres que
había, que se convirtieron en peces. (también el primer sol produjo un "diluvio universal")
Hicieron entonces los dioses cuatro caminos para entrar en la tierra,
crearon cuatro hombres para que les ayudaran y se convirtieron Tezcatlipoca y
Queztalcoatl en árboles enormes que, al
crecer, volvieron a levantar el cielo. Y
una vez levantado el cielo caminaban por él, haciendo el camino que aparece en
el cielo (¿la vía láctea?).
Después de levantar el cielo, hizo
Tezcatlipoca una fiesta en honor de los dioses y sacó lumbre de unos
palos. Esa fue la primera vez que se
hizo fuego con unos palos que tienen corazón, y la fiesta consistió en hacer
muchos y grandes fuegos.
Después de haber levantado el cielo, dijeron los dioses : “¿Quiénes
habitarán la tierra?”. Fue entonces
Quetzalcoatl al inframundo y pidió al señor y la señora de los muertos los
preciosos huesos de los que habían sido sacrificados. El señor del inframundo
le preguntó: “¿Qué harás con ellos?”, y él contestó “Los dioses tratan de hacer
con ellos quien habite sobre la tierra”.
“Sea en buena hora”, dijo el dios de los muertos, “Haz sonar mi
caracola y lleva los huesos cuatro veces alrededor de mi asiento de piedras
preciosas”.
Pero Quetzalcoatl no usó la caracola, sino que llamó a los gusanos,
que hicieron agujeros en el hueso, y entraron por ellos las abejas y lo
hicieron sonar.
Al oírlo, se enfadó el dios de los muertos y ordenó a sus mensajeros
que dijeran a Quetzalcoatl que volviera a dejarlos, pero él contestó: “No, me
los llevo para siempre”.
Tras algún tropiezo, llevó Quetzalcoatl los huesos a la diosa
Cihuacóatl-Quilaztli, que los molió. Quetzalcoatl sangró su miembro sobre
ellos, y todos los dioses hicieron penitencia, sangrando sobre ellos, por lo
que después nacieron los hombres.
Otra vez dijeron los dioses: “¿Qué comerán los hombres?”.
Cuando la hormiga roja fue a recoger maíz desgranado del cerro de la
subsistencia, Quetzalcoatl se convirtió en hormiga negra y la acompañó,
llevando los granos a los dioses, que los masticaron y lo pusieron en las boca
de los hombres para robustecerlos.
Luego Nanáhuatl “el buboso” despedazó el cerro con un rayo, y los
dioses de la lluvia arrebataron el alimento: el maíz blanco, el negro, el
amarillo, el frijol, los bledos, la chía, huautli… todo el alimento fue
arrebatado y entregado a los hombres.
Y dijeron los dioses: “Los hombres siempre estarán tristes si no
hacemos algo para alegrarlos y para que tengan placer de vivir y nos alaben,
canten y bailen”. Y también aquí fue Quetzalcoatl el que consiguió hacer, con
los huesos de una diosa, una planta llamada metl (ágave) de la que los indios
hacen el vino que beben y con el que se emborrachan.
Este texto está extractado del libro “Mitos y leyendas de los aztecas,
incas, mayas y muiscas” de Walter Krickeberg, editado por el Fondo de Cultura
Económica.
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