miércoles, 25 de diciembre de 2013

Geometrías y Aritméticas

El bueno de Euclides (siglo III antes de Cristo) debió de pensarselo mucho, pero al fin decidió que era evidente, aunque indemostrable, que por un punto externo a una recta siempre pasa una y solo una paralela a ella, una recta que por más que ambas se prolonguen, nunca se cortan. Esto es lo que se llama "axioma". A partir de este axioma, y de unos pocos más, se  construye toda la geometría que utilizamos en la tierra y que, en su honor, se llama geometría "euclidea".

Pero unos siglos después a alguien se le ocurrió que, tomando como axioma el que por ese punto exterior no pasaba ninguna paralela (todas las rectas se cortan antes o después) se podía construir otra geometría. Y a alguien se le ocurrió también que por un punto exterior podían pasar más de una paralela, construyéndose otra geometría no euclidea.

Resulta que, al ser el universo finito, la geometría que debe usarse a esa escala es la primera de estas dos. Y, en algunas construcciones tetradimensionales del espacio-tiempo, la que debe usarse es la segunda.

La idea que quiero dejar claro es que las teorías matemáticas son abstracciones que, aunque para un matemático tienen un valor de por sí, resultan aún más valiosas cuando pueden aplicarse a algo real. Pero eso no quiere decir que puedan aplicarse a "todo".

Pero ¿que pasa con la aritmética? ¿cuánto vale 1+1?. Veamos algunos ejemplos:
  • ·    Si doy una media vuelta y luego otra media vuelta, me  quedo exactamente como  estaba (1+1=0).
  • ·        Un poco de agua más un poco de agua sigue siendo un poco de agua (1+1=1).
  • ·     Un lanzamisiles los dispara a una velocidad de un millar de kilómetros por hora. ¿Qué velocidad alcanzará el misil si se utiliza el lanzamisiles desde un avión que vuela a un millar de kilómetros por hora?: a dos millares de kilómetros por hora (1+1=2).  
  • ·    ¿Y si un lanzapartículas las lanza a un centenar de miles de kilómetros por segundo desde una astronave que viaja a un centenar de miles de kilómetros por segundo? Pues calculo que a algo menos de un centenar y medio de miles de kilómetros por segundo (1+1=1,4...).
Con esto quiero decir que la aritmética que usamos para nuestras pequeñas cuentas es una abstracción, como la geometría euclidea, que nuestra experiencia nos dice que resulta útil cuando operamos con entes que llamamos "enumerables", pero no necesariamente siempre y para todo.

Los bancos, utilizando aritmética elemental, deducen que un millón de euros más un millón de euros son dos millones de euros. Pero ¿han contado realmente un millón de monedas de un euros por un lado, un millón por otro, y han comprobado que al juntarlos suman realmente dos millones de euros? 

Un millón es un número relativamente pequeño, por lo que sospecho que si se hiciera la comprobación se llegaría a la conclusión de que la suma era correcta, pero ¿cuánto suman un quintillón de estrellas más un quintillón de estrellas? Nuestra aritmética nos predice que sumarán dos quintillones, pero ¿no ocurrirá cómo con la geometría euclidea, que no es válida en la inmensidad del universo? 

Pero vayamos a otro tema relacionado con la aritmética: "Dios no es omnipotente ya que no puede hacer que 1+1 no sea 2".

 Creo que hay que distinguir entre la suma abstracta, puramente aritmética, "1+1=2", y la real "una pera más una pera son dos peras".

Para el caso abstracto se me ocurre un ejemplo: Supongamos que juego al parchís y que tiro el dado y me sale un tres. Muevo mi ficha cuatro posiciones. Y mi oponente dice "¡trampa!, tienes que moverla tres posiciones". Yo replico que siempre he jugado moviendo cuatro posiciones cuando sale un tres , y moviendo doce cuando sale un seis. Él dirá entonces que a lo que yo juego no es al parchís, sino a una cosa parecida con unas reglas distintas. El punto es que por supuesto puedo mover la ficha cuatro posiciones, pero no  si sigo las reglas.

No solo Dios, sino que  incluso un pobre mortal como yo puede jugar, definiendo nuevas reglas para la suma, a que 1+1 sea 3, pero no estaría jugando con las reglas y axiomas de la aritmética tradicional. Además, al contrario de lo que ocurre con las geometrías no euclídeas, es poco probable que le encontráramos alguna utilidad.

En el caso real ¿Puede Dios hacer que una pera más una pera sean tres peras? La respuesta es también positiva: ¿No cuentan los evangelios que en cierta ocasión hizo que con cinco panes y dos peces comiera una multitud y sobraran varias cestas de comida?

4 comentarios:

  1. Hay mas de uno que realmente piensan que 1+1=3 y andan jugando al parchis todo el día, con la ficha de otros y lo mas graciosos es que siempre ganan ellos...
    Un saludo reiterando Felices Fiestas.
    elperroverde.

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  2. Es muy interesante la analogía que haces entre las aritméticas y la multiplicación de los panes y los pescados. Sería genial que, definiendo una suma, una multiplicación o, en general, una operación y aplicando esa operación, pudiésemos lograr cosas como la del pasaje bíblico, tener efectos sobre el mundo físico. Parecería magia, pero no sería más que matemática.

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  3. Interesante discusión sobre la aritmética y la realidad. Muy buena ;)

    "Resulta que, al ser el universo finito, la geometría que debe usarse a esa escala es la primera de estas dos"

    Esa afirmación, importantísima para el tanteo de las ecuaciones que se usan para estudiar el universo, me deja un poco descuadrado... ¿Por qué, al ser finito, necesariamente debe de usarse la primera de las dos, esto es, la euclidiana? Mi mente física no ve la relación lógica.

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    1. Quizás no me he expresado bien. Quería decir la primera de las dos no euclidianas, es decir, en la que todas las rectas se cortan.

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