domingo, 15 de julio de 2012

El universo en expansión - 3 - El tiempo imaginario

 En el espacio  euclideo tridimensional normal, fijados unos ejes de coordenadas ortogonales, un punto viene determinado por tres valores (x, y, z). La distancia “d” entre ese punto y el origen de coordenadas viene dada por la raiz cuadrada de x2 + y2 + z2.

En el caso del espacio-tiempo, a las tres coordenadas espaciales hay que añadir una coordenada temporal, quedando determinado un punto por un conjunto de cuatro valores (x, y, z, t). Pero el espacio-tiempo no es un espacio euclideo normal, y la distancia “δ” de ese punto al origen de coordenadas viene dada por la raiz cuadrada del valor absoluto de x2 + y2 + z2 – t2, o sea que δ2 = d2 – t2. Veamos con unos ejemplos por qué esto es así:

Es de noche. Subimos a la azotea y contemplamos las casas cercanas, la torre de la iglesia, la luna, las estrellas… En la torre de la iglesia hay un reloj. Falta un minuto para que den las doce. ¿A qué distancia temporal estamos del momento en que suene la primera campanada?. La respuesta es sencilla: a un minuto. ¿A qué distancia espacial estamos de la torre? Supongamos que está a 100 metros. Y ahora viene la pregunta difícil. ¿A qué distancia espacio-temporal estamos del momento en que el reloj de la torre va a marcar las doce de la noche? ¿Podemos calcular una distancia mezclando metros con minutos? El primer problema es, por tanto, tener un sistema de medida común para el tiempo y el espacio.

Sabemos que la luz recorre 300.000 kilómetros en un segundo. En un minuto recorrerá 18.000.000.000 de metros. Esto es enorme, comparado con los 100 metros de distancia a la torre, por lo que sumemos o restemos los cuadrados de las dos distancias, la distancia espacio-temporal será prácticamente la misma que la temporal, la midamos en metros, en minutos o en segundos. Pero lo que me interesa destacar aquí es que no estamos midiendo la distancia espacio-temporal a la que se encuentra la torre. La torre lleva ahí más de un siglo, y es de esperar que ahí siga al menos un siglo más. En este sentido la torre es atemporal. En el espacio-tiempo no se mide la distancia a objetos, sino a sucesos. Sucesos que ocurren en un punto y un momento determinado.

Pero ¿dónde hemos puesto el origen de coordenadas?. Supongamos que fijamos el origen de coordenadas en nosotros mismos. En nuestra retina. Nuestra retina es el punto (0, 0, 0, 0) del espacio-tiempo. Nos movemos por la terraza. Nos vamos al otro extremo. ¿Cuáles son ahora las coordenadas de nuestra retina?: (0, 0, 0, 0). ¿Por qué? Porque hemos puesto el eje de coordenadas precisamente en nuestra retina, y al movernos hemos movido con ella el origen de coordenas. Lo que ha cambiado no son las cordenadas de nuestra retina, sino las de la torre de la iglesia y la de todas las demás cosas, incluida la luna y las estrellas. Lo que quiero hacer notar aquí es no tanto que las coordenadas espaciales de nuestra retina son (0, 0, 0), cosa que me parece fácil de entender, sino que la coordenada temporal de nuestra retina es también siempre 0. Nuestra retina está siempre en el origen del tiempo.

Miremos ahora a una estrella. Aparentemente está en el punto (x, y, z), es decir, a una distancia espacial “d” tal que d2 = x2 + y2 + z2. Las distancias espaciales se miden normalmente en años-luz, siendo un año-luz la distancia que recorre la luz en un año. Supongamos que está a 200 años-luz. ¿A qué distancia temporal está? Cuidado… ¿está o estaba? Porque en 200 años, que es lo que ha tardado su luz en llegar hasta nosotros, la estrella habrá cambiado de sitio y donde está “ahora” es en otro punto espacial y a una distancia temporal 0 (allí está ¡ahora!). La estrella que vemos estuvo donde la vemos hace 200 años, por lo que su coordenada temporal es -200 años. t = -d. Y la luz que está emitiendo ahora la estrella ¿cuándo llegará hasta nosotros?. Si la distancia actual a la estrella es de 201 años-luz, por ejemplo, la veremos dentro de 201 años. Es decir t = d. En ambos casos t2 = d2, o lo que es lo mismo d2 - t2 = 0, o x2 + y2 + z2t2 = 0. Es decir la estrella que "vemos" está a una distancia espacio-temporal cero de nuestra retina. Lo que vemos está siempre a una distancia espacio-temporal 0. 

La distancia espacio-temporal a la que están los objetos reales (que veremos en el futuro) es siempre (ahora, luego coordenada temporal  = 0) la distancia euclidea normal, ya que sus coordenadas serán (x, y, z, 0).

Y con esto llegamos al tiempo imaginario. Lo que hace Hawking en su "Historia del Tiempo" (páginas 188-189 de la edición de bolsillo de Alianza Editorial) es un cambio de variable: τ = it (donde t se multiplica por la constante imaginaria i, que es la raiz cuadrada de -1). Con esto τ2 = -t2, y por tanto el cuadrado de la distancia espacio-temporal será δ2 = d2 + τ2 = x2 + y2 + z2 + τ2. Observamos que, en esta fórmula, la nueva variable τ se comporta como si fuera una variable espacial normal, y por eso Hawking la utiliza como si lo fuera.

Hawking propone un modelo del universo en el que hay una cuarta dimensión: el “tiempo imaginario”.

Toma como imagen la Tierra y sus paralelos y dice: “…la distancia desde el polo norte representaría el tiempo imaginario, y el tamaño de un círculo a distancia constante del polo norte representaría el tamaño espacial del universo. El universo comienza en el polo norte como un único punto. A medida que uno se mueve hacia el sur, los círculos de latitud, a distancia constante del polo norte, se hacen más grandes, y corresponden al universo expandiendose en el tiempo imaginario. El universo alcanzaría un tamaño máximo en el ecuador, y se contraería con el tiempo imaginario creciente hasta un único punto en el polo sur.

El único inconveniente de este modelo es que los “círculos” bidimensionales que representan el  “el tamaño espacial del universo” en una hiperesfera de cuatro dimensiones, son esferas de tres dimensiones. Según esto, nosotros estaríamos dentro del globo que se infla, no en su superficie.

Este inconveniente se puede soslayar considerando el tiempo imaginario como quinta dimensión de la esfera tetradimensional de la entrada anterior de esta serie. Su representación gráfica sería la misma, y seguiría sirviendo la imagen de la Tierra y sus paralelos, pero ahora los círculos bidimensionales contenidos por estos representan hiperesferas tetradimensionales cuyas superficies tridimensionales son el espacio en expansión, finito pero ilimitado, en el que nos movemos.

Podemos incluso generalizar el concepto de “tiempo imaginario” y postular simplemente que nuestra quinta dimensión depende de alguna manera del tiempo. La fórmula para esta hiperesfera sería X2+Y2+Z2+S2+W2=R2 , donde W sería la variable dependiente del tiempo.

Tal como hemos formulado nuestra hiperesfera centrada en el origen, tendremos el big bang para W = -R (o  R)  y el big crunch para W = R (o -R). Un simple cambio de variable T = W+R nos da la fórmula X2+Y2+Z2+S2+T2=2TR, en la que la variable asociada al tiempo valdría 0 para el big bang y 2R para el big crunch.


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Un par de ejemplos más de coordenadas espacio-temporales:

Supongamos que vemos dos estrellas una sobre el eje X y otra sobre el eje Y, y que ambas las vemos a una distancia d. Las coordenadas solamente espaciales de ambos puntos serán (d,0,0) y (0,d,0) por lo que su distancia espacial será la raiz cuadrada de (d-0)2+(0-d)2+(0-0)2,  que es igual a d multiplicado por la raiz cuadrada de 2. Sus coordenadas espacio-temporales serán (d,0,0,-d) y (0,d,0,-d). Aplicando la fórmula,  nos sale el mismo resultado: raiz cuadrada de (d-0)2+(0-d)2+(0-0)2-(-d+d)2, o sea d multiplicado por la raiz cuadrada de 2. Este es un ejemplo de que, para sucesos que ocurren al mismo tiempo, su distancia espacio-temporal coincide con la simplemente espacial.

Cerremos los ojos. En nuestra retina veremos un fondo oscuro, más o menos rojizo, con algunas zonas más claras rojas o anaranjadas... Conservemos la imagen 6 segundos en nuestra memoria. Sus coordenadas espacio-temporales serán (0,0,0,-6), las tres primeras coordenadas son ceros porque, como vimos, nuestra retina es el origen de coordenadas. La distancia espacio-temporal de la imagen será, si aplicamos la fórmula, precisamente 6 segundos, como era lógico esperar.

Se me dirá que si en vez de restar t2 lo hubieramos sumado, los resultados de estos dos ejemplos hubieran sido los mismos. Por eso es importante el ejemplo inicial: si sumamos, en vez de darrnos que la imagen en nuestra retina está a distancia 0 de nosotros (lo que es lógico), nos daría que estaba a una distancia d multiplicada por la raiz cuadrada de 2 (lo que no tiene sentido).  


7 comentarios:

  1. Florentino, interesante articulo y no menos instructivo, pero para serte sincero me supera el entenderlo... lo volveré a leer con mas calma pero creo que el fin sera el mismo, mi tosca cabeza no da para tanto..
    Un saludo.

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  2. Coincido con Elperroverde con las limitaciones para entederlo. Sin embargo, de lo que he leído, hay algo que no me cuadra:
    Explica que, como la imagen de una estrella a 201 años luz llega a nuestra retina pasado ese tiempo, d²-t²=0. Y luego, en el siguiente párrafo, añade que la "medida de la distancia la raiz cuadrada del valor absoluto de d2 - t2". Ahí ya me ha descolocado. ¿No se supone que d²-t²=0? Tampoco entiendo por qué el cuadrado del tiempo se resta, en lugar de sumarse. ¿No conllevaría eso a distancias imaginarias, en el caso por ejemplo de la torre a las doce, donde t>>d?

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  3. Carlos y Perroverde: me temo que si no lo entendéis es fundamentalmente porque no he sabido explicarlo bien. Repensaré la forma de contarlo y modificaré el texto.

    Creo que el punto difícil de entender es lo que significa que ponga el origen de coordenadas en la retina del observador. Sobre todo porque, si me quedo quieto, las coordenadas espaciales de un objeto no van a variar, pero el tiempo transcurre aunque no me mueva. Y sin embargo en el origen de coordenadas sigue siendo el instante cero.

    Supongamos que el reloj de la torre marca las doce, y que la torre está tan lejos que la imagen de ese instante tarde un segundo en llegar a mi retina. ¿A que distancia espacial está la torre? A 300.000 Kms, o sea, a un segundo-luz. Luego la imagen que yo tengo en mi retina está a una distancia espacial de un segundo-luz y a una distancia "temporal" también de un segundo. Es decir, para las imágenes en mi retina d=t. Si tomo como distancia espacio-temporal la raiz cuadrada de d2-t2, tendré que la imagen que está en mi retina está a una distancia 0, lo cual es correcto ya que mi retina es el origen de coordenadas.

    Bueno, me temo que he dicho lo mismo que en el texto y no he aclarado nada- Lo repensaré.

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  4. He modificado el texto y he añadido un par de ejemplos. Espero que ahora se entienda mejor.

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  5. Virgen santa...entre el calor y esto mi materia gris pide auxilio...esta tercera parte ya me cuesta floren...

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  6. Si consideramos el tiempo imaginario como una quinta dimensión, R^2 = x^2 + y^2 + z^2 - t^2 + w^2

    Si el origen del espacio y del tiempo lo ponemos en el big bang, w^2 = r^2, entonces el tiempo imaginario cuando las dimensiones del espacio y del tiempo son 0 (big bang y big crunch) pasaría de -R a R. ¿Podría considerarse el Big Bang un punto en un espacio pentadimensional? Suponiendo que nunca suceda un big crunch, esa forma pentadimensional podría ser una hipérbola o algo semejante?

    Tu serie de entradas me ha hecho pensar mucho estas cosas...

    Gracias!

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    1. Efectivamente el big bang sería un punto del espacio pentadimensional. En cuanto a que no suceda el big crunch, es lo que parecen indicar las observaciones actuales. Ten en cuenta que lo que yo explico es tan solo un "modelo".

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