El Universo en expansión - 1 - Hiperesferas

El universo se creó a partir de una gigantesca explosión, el "big bang". Debido a la fuerza de la explosión, el universo comenzó a expandirse muy rápidamente, para después ir disminuyendo poco a poco la velocidad.

Esa disminución de la velocidad de expansión se debió a que la inercia del impulso inicial estaba siendo contrarrestada por la fuerza de la gravedad que hace que hasta la más pequeña partícula de materia del universo atraiga y sea atraida por las demás.

No se sabe a ciencia cierta si el universo seguirá creciendo indefinidamente o si llegará un momento en que la fuerza de la gravedad logre contarrestar por completo la inercia del big bang. Si lo logra, comenzará a disminuir el tamaño del universo hasta que todo él se concentre en solo punto. Es lo que llaman el “big crunch”. También podría ocurrir el caso límite entre los dos: que la cantidad de materia existente en el universo sea exactamente la necesaria para que el universo vaya poco a poco acercandose a un cierto tamaño, su máximo, sin llegar nunca a él.

Parece que los científicos se inclinan por el crecimiento indefinido del universo, pues, por un lado, no encuentran en él materia suficiente para pararlo y, por otro, detectan que se está produciendo una aceleración en la velocidad de expansión. Esto último quiere decir, por otra parte, que, además de la inercia del big bang y de la gravedad, hay otro factor que influye en la velocidad de expansión del universo al que llaman “constante cosmológica Lambda”.

Por otra parte, la expansión del universo no hay que interpretarla como si el universo fuera una esfera, o el interior de un globo, que se va hinchando, porque el globo y la esfera tienen un límite: su superficie, que podríamos alcanzar si viajáramos a una velocidad superior a la de la expansión. Y el universo no tiene límites. Es de tamaño finito, pero ilimitado.

El símil que utilizan los científicos para explicar nuestro universo ilimitado es un globo inflándose, pero no su interior, sino su superficie. A medida que el globo se hincha, los puntos de su superficie se alejan unos de otros. Si nosotros fueramos bidimensionales y viviéramos en la superficie del globo, no veríamos nunca su interior, ni el exterior, sino solo su superficie, y, moviéndonos por ella, nunca encontraríamos sus límites, a pesar de tratarse de una superficie finita.

Podríamos imaginar que nuestro espacio tridimensional fuera la hipersuperficie de una esfera de cuatro dimensiones que aumenta de tamaño con el tiempo..

Intentemos, con un poco de geometría, aclarar esta idea:

En un hiperespacio de n dimensiones, definido un sistema de coordenadas, cualquier función f(X, Y, Z,… W) = k en que intervengan todas o algunas de sus coordenadas representa una hipersuperficie o hiperespacio de dimensión n-1 para cada valor de k.

La intersección de dos de esas funciones, f(X, Y, Z,… W) = k y g(X, Y, Z,… W) = m, representa una hipersuperficie o hiperespacio de dimensión n-2 para cada valor de k y de m.

En concreto, la ecuación X²+Y²+Z²+… +W²=R² (interviniendo todas las coordenadas) es una hipersuperficie esférica de dimensión n-1 y radio R centrada en el origen de coordenadas, y la ecuación W=k es un hiperespacio o hiperplano, también de dimensión n-1. Para valores de k comprendidos entre –R y +R, la intersección de estas dos hipersuperficies es una hipersuperficie esférica de dimensión n-2 y radio igual a la raiz cuadrada de R²-k².

En particular, en un espacio de dimensión n=1 (una recta) la ecuación X²=R² representa una “hipersuperficie” de dimensión 0 (dos puntos, X=R y X=-R) que enmarcan una “hiperesfera” de dimensión 1 (el segmento comprendido entre ambos puntos)

En un espacio de dimensión n=2 (un plano), X²+Y²=R² representa una “hipersuperficie” de dimensión 1 (una circunferencia) que contiene una “hiperesfera” de dimensión 2 (un círculo). Si cortamos esta “hipersuperficie” de dimensión 1 con una recta (espacio de dimensión 1), lo que obtenemos es una “hipersuperficie” de dimensión 0 (dos puntos) de radio menor o igual que R.

En el espacio en que nosotros nos movemos (n=3), la ecuación X²+Y²+Z²=R² representa la superficie de una esfera, de radio R y centrada en el origen de coordenadas. En nuestro espacio de tres dimensiones. la “hipersuperficie” es la superficie de dimensión 2 de una esfera. Si cortamos esta hipersuperficie con un plano (espacio de dimensión 2), obtenemos una circunferencia (“hipersuperficie” de dimensión 1) de radio menor o igual que R.

Si el plano que corta la esfera fuera perpendicular a esta página, lo que veríamos sería

que es como representaremos en próximas entradas del blog la intersección de una hipersuperficie esférica con un hiperplano de su misma dimensión.

En un espacio de dimensión n=4, X²+Y²+Z²+S²=R² es la “hipersuperficie” de dimensión 3 de una “hiperesfera” de dimensión 4. Si cortamos esta “hipersuperficie” con un hiperplano de dimensión 3 (un espacio como el nuestro), el resultado sería una superficie esférica normal (de dimensión 2) de radio menor o igual que R.

Para terminar, en un espacio de dimensión n=5, X²+Y²+Z²+S²+W²=R² es la “hipersuperficie” de dimensión 4 de una “hiperesfera” de dimensión 5. Si cortamos esta “hipersuperficie” con un espacio de dimensión 4 obtendremos la “hipersuperficie” de dimensión 3 de una “hiperesfera” de dimensión 4 y radio menor o igual que R.